lunes, 30 de agosto de 2010

NUESTRA VISIÓN DE LA MATEMÁTICA

Extracto del Capítulo 1 del libro “Enseñar Matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos.” Patricia Sadovsky. Buenos Aires. Libros del Zorzal. 2005.)

Nos ubicamos en una perspectiva según la cual la matemática es un productocultural y social. Cultural, porque sus producciones están permeadas en cada momento por las concepciones de la sociedad en la que emergen, y condicionan aquello que la comunidad de matemáticos concibe en cada momento como posible y como relevante. El análisis histórico es rico en episodios al respecto. Por ejemplo, la civilización griega del período clásico supuso que los hechos de la naturaleza obedecen a un orden que puede ser conocido a través de la Matemática (Kline, M; 1985). En particular, para los pitagóricos todos los objetos estaban hechos de partículas elementales de materia o “unidades de existencia” combinadas con las distintas figuras geométricas. El número total de unidades representaba el objeto material. El número era la materia y la forma del universo. Esto permite comprender por qué le atribuían a los números formas geométricas y por qué el estudio de la aritmética se centraba en las propiedades de estos “tipos de números” (triangulares, cuadrados, etc.)

La matemática es también un producto social, porque es producto de la interacción entre personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática. Son reglas que van se van transformando en función de los conocimientos y de las herramientas disponibles, lo cual lleva a pensar que la idea misma de rigor matemático, cambia con el tiempo.

La génesis escolar del trabajo matemático

Dado que es la actividad matemática en tanto actividad de producción la que

nos interesa “producir” –que se produzca- en la escena del aula, tomar las ideas anteriores como referencia es para nosotros ineludible. Sin embargo pensar que “el asunto” de la clase es la actividad matemática – incluyendo los resultados de dicha actividad, por supuesto- no es una postura unánimemente compartida entre todas las personas involucradas en la educación matemática: hay quienes se centran en comunicar algunos “resultados” a la manera de discurso acabado, hay quienes hacen un recorte para la enseñanza que no toma al conjunto de la actividad matemática como referencia sino sólo una parte, y conciben la enseñanza como la comunicación de técnicas aisladas. Ni unos ni otros necesitan pensar en una génesis escolar que convoque a los alumnos a un trabajo de reconstrucción de ideas. Aunque la noción de génesis escolar se irá precisando a medida que avancemos en el desarrollo del libro, digamos por ahora que es necesario pensar en un proceso de producción en la clase que tenga en cuenta las condiciones de la institución escolar que son esencialmente diferentes de las que rigen la producción de saberes en la ciencia.

En primer lugar, los alumnos deberán elaborar conocimientos que – seguramente con rasgos diferentes - ya existen en la cultura. Las herramientas conceptuales que dispondrán para hacerlo serán diferentes de las que fueron utilizadas cuando esos conocimientos “ingresaron” en la comunidad científica de la “mano” de matemáticos profesionales. En otros términos, un matemático productor “sabe” muy distinto que un alumno de la escuela concebido como “matemático”, lo cual obliga a pensar qué elementos tendría un alumno para reconstruir una idea que fue elaborada con otras herramientas y desde otro marco conceptual. Por otro lado, muchos de los “objetos” que se tratan en la clase de matemática de la escuela actual, hace varios siglos que “abandonaron” su refugio original en la comunidad matemática y circulan por la   sociedad “común”, lo cual ha modificado una y otra vez sus sentidos. Por ejemplo, durante el período griego las razones de números naturales no eran considerados números sino justamente razones –relaciones- en tanto que hoy, los niños nacen en una cultura en la que las razones de números naturales son números y su esfuerzo se concentra en adaptarse desde el vamos a este funcionamiento.

Esto hace que la complejidad que supone concebir un cociente como un número, quede “oculta” en un funcionamiento naturalizado por la sociedad.

En segundo lugar, la escuela impone un modo de trabajo según el cual los saberes sólo pueden durar un cierto tiempo en la vida de la clase ya que luego hay que pasar a ocuparse de otros saberes, esto implica un condicionante fuerte a la hora de pensar en procesos de reconstrucción del conocimiento en la escuela ya que los tiempos de aprendizaje no se rigen por la lógica de los “trimestres” o “bimestres”.

Digamos finalmente que el sistema a través del cual se acreditan los aprendizajes no siempre “calza bien” con los recorridos que es necesario transitar para involucrarse verdaderamente en un proceso de producción…

Es difícil describir la actividad matemática – aún desde la concepción global de

pensarla como producto social y cultural- sin caer en reduccionismos de algún 
tipo. Cualquiera que haya estudiado matemática – es el caso de los profesores  actuales o futuros- “tuvo” que resolver unos cuantos ejercicios y problemas  como parte de su trabajo de estudiante. Seguramente habrá sorteado para ello  complejidades muy diversas: en algunos casos habrá tenido que “replicar” las  pautas dadas por un problema “tipo” correspondiente a una cierta teoría, en otros habrá pasado por momentos de incertidumbre – no saber qué hacer, no saber si se hizo bien - aún conociendo que el problema, por ser planteado como parte de las tareas de una cierta asignatura, requería de las herramientas tratadas en dicha asignatura. Algunos problemas habrán “mostrado” aspectos nuevos de una teoría, otros habrán servido para permitir la emergencia de una cierta técnica o para consolidarla; algunos habrán dado la posibilidad de explorar y ensayar poniendo en juego diversos conocimientos y otros habrán requerido de una herramienta sin la cual el problema no salía. Por otro lado, a través de un problema se pueden buscar resultados de muy diversa naturaleza: elementos de un cierto conjunto (números, matrices, vectores, funciones, etc.), construcciones, conjeturas, demostraciones, representaciones…Al revisar la propia trayectoria de estudio no es fácil establecer cuánto aportó cada una de estas situaciones a construir para uno  mismo una representación acerca de qué es la matemática y cuáles son sus asuntos.

Si analizamos en profundidad seguramente encontraremos que algunos problemas “abiertos” – esos que requieren tomar muchas decisiones y que generan un gran nivel de incertidumbre-, nos dejaron una huella importante porque nos permitieron acceder a una idea más o menos general mientras que otros pudieron haber sido buenas experiencias pero quedaron aisladas sin que sus resultados se hayan podido insertar en alguna organización teórica. Por eso frases muy acuñadas como “la matemática se ocupa de problemas” o “hay que dar problemas y no ejercicios” o “no hay que dar técnicas”, aunque parcialmente dignas de ser consideradas, dicen poco acerca de cómo estructurar un proyecto de enseñanza.










































LA EPISTEMOLOGÍA IMPLÍCITA EN LAS PRÁCTICAS DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

Por: Bernard Charlot (conferencia dictada en Cannes, marzo 1986)



“¿Qué es hacer matemáticas?”



Para cualquiera que enseña cotidianamente matemáticas, esta pregunta puede parecer un exceso, o incluso un juego casi gratuito y sin gran interés.

Dicho de otro modo, muchos profesores de matemáticas consideran esta pregunta como un asunto de la filosofía con el que es mejor no meterse.

Hace veinte años que las reformas en la enseñanza de las matemáticas se hansucedido a un ritmo tal, que muchos profesores ya no saben qué se espera de ellos y llegan a preguntarse: ¿qué es enseñar matemáticas? Y finalmente ¿qué son las matemáticas? Quisiera proponer a este respecto, algunas pistas y señalar la importancia de comprender la epistemología – teoría del conocimiento, de su objeto y de sus métodos- implícita propia a toda práctica de la enseñanza de la matemática.

[…]

¿Qué es estudiar matemáticas? Mi respuesta global será que estudiar matemáticas es efectivamente HACERLAS, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas, ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual.

No se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemáticos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos.

Esta idea que sostiene que estudiar matemáticas, es HACER matemáticas, no es la más predominante en el universo escolar actual. La idea más corriente es aquella que postula que las matemáticas no tienen que ser producidas sino descubiertas.

Es decir que los entes matemáticos ya existen en alguna parte, en el cielo de las Ideas. A partir de allí, el papel del matemático no es el de crear o inventar dichos entes sino de develar las verdades matemáticas existentes pero aún desconocidas.

Desde esta misma concepción, las verdades matemáticas sólo pueden ser

enunciadas gracias a la labor de los matemáticos, pero ellas son lo que son, dadas desde siempre, independientemente de la labor de los matemáticos. La enseñanza clásica de las matemáticas se basa en una epistemología y una ontología platónica que las matemáticas modernas aún mantienen: las Ideas matemáticas tienen una realidad propia.

El matemático René Thom no vacila en afirmar explícitamente que “la hipótesis

de ideas platónicas que informan el universo es, a pesar de las apariencias, la más natural y, filosóficamente la más económica.”

Una vez develada, la verdad matemática es expuesta a la mirada de quien sabe mirar suficientemente alto en el cielo de las Ideas. El papel del profesor consiste entonces en hacer que al alumno comparta esa visión a la que él ya accedió, y tornear el espíritu del alumno – “el ojo del alma”, decía Platón- hacia el mundo matemático. Desde esta concepción, la verdad matemática le es dada a aquel que sabe ver, a aquel que tiene suficiente poder de abstracción.

El vocabulario pedagógico cotidiano que sigue siendo muy platónico, contiene

constantemente esta metáfora de la mirada, de la visión, de la luz. Como dicen los alumnos, “yo veo” o “yo no veo”, “me da justo” o “no me da justo”, y en materia de matemáticas, no hay discusión, ni duda, o se da en el blanco o se está fuera de foco.

El vocabulario de los profesores, aunque es más rico, abunda en frases del mismo tipo. Ciertos alumnos son unas lumbreras, son brillantes, son unas luces, sacan las cosas a primera vista. Otros, lamentablemente, tienen orejeras, son ciegos, para ellos todo es oscuro. Existen, en suma, los alumnos de cien watts y alumnos de cuarenta watts y nada tiene que ver el profesor en esto que no ha hecho más que dar su curso lo más “claramente” posible. Sobre esta metáfora de la mirada se inscriben dos discursos interpretativos.

Por un lado, la interpretación biológica que hoy se adorna de argumentos con

pretensiones genéticas pero retoma de hecho el discurso sobre la inteligencia que tenía Platón hace veinticinco siglos: las matemáticas están dadas a quienes tienen un don, una capacidad de abstracción suficiente para percibir los contenidos conceptuales que les son propuestos - lo que la frenología llamaba hace casi un siglo y medio, “la joroba de los matemáticos”. La segunda interpretación propuesta por la sociología de la educación, explica que algunos niños padecen de discapacidades socio-culturales, que carecen del capital cultural necesario para manejar un lenguaje abstracto y acceder así al universo matemático.

Estas dos tesis, una biogenética y la otra socio-cultural, son muy diferentes pero parten de un postulado común: los conceptos, los conocimientos, las culturas están consideradas como dadas y se transmiten a los herederos bajo la forma de don natural o capital socio-cultural.

A esta idea de una matemática dada, bajo una u otra forma, contrapongo la idea de una matemática construida, diría incluso, utilizando de una manera un poco provocativa el vocabulario de la técnica, una matemática fabricada.

La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar. Los conceptos matemáticos no son un bien cultural trasmitido hereditariamente como un don o socialmente como un capital, sino el resultado de un trabajo del pensamiento, el trabajo de los matemáticos a través de la historia, el del niño a través de su aprendizaje. El Don y el Capital de un lado, el Trabajo del otro: empleo estos términos intencionalmente para que se pueda comprender mejor cuál es el problema de fondo planteado por la democratización de la enseñanza de la matemática. Esta democratización implica una ruptura que no recurre al ámbito de las aptitudes naturales o del entorno socio- cultural en un sentido vago del término, sino que es una ruptura social en el seno de las prácticas mismas de enseñanza.

Hacer matemática no consiste en una actividad que permita a un pequeño grupo de elegidos por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy particular por su abstracción. Hacer matemáticas, es un trabajo del pensamiento, que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar. Democratizar la enseñanza de la matemática supone en principio que se rompa con una concepción elitista de un mundo abstracto que existiría por sí mismo y que sólo sería accesible a algunos y que se piense en cambio, la actividad matemática como un trabajo cuyo dominio sea accesible a todos mediante el respeto de ciertas reglas.

Son dichas reglas, es decir las técnicas pedagógicas las que permiten al alumno conducir el trabajo de su pensamiento matemático y que yo querría ahora explicitar brevemente”.









EL HOMBRE QUE CALCULABA

EL HOMBRE QUE CALCULABA

 
CAPÍTULO II




Me llamo Beremís Samir y nací en la pequeña aldea de Khoy, en Persia, a la sombra de la gran pirámide formada por el monte Ararat. Siendo muy joven todavía, me empleé como pastor al servicio de un rico señor de Khamat .


Todos los días, al salir el Sol, llevaba el gran rebaño al campo, debiendo ponerlo al abrigo, al atardecer. Por temor de extraviar alguna oveja y ser por tal negligencia castigado, contábalas varias veces durante el día.


Fui, así, adquiriendo, poco a poco, tal habilidad para contar que, a veces, instantáneamente, calculaba sin error el rebaño entero. No contento con eso, pasé a ejercitarme contando además los pájaros cuando, en bandadas, volaban por el cielo. Volvíme habilísimo en ese arte. Al cabo de algunos meses –gracias a nuevos y constantes ejercicios-, contando hormigas y otros pequeños insectos, llegué a practicar la increíble proeza de contar todas las abejas de un enjambre. Esa hazaña de calculista nada valdría frente a las otras que más tarde practiqué. Mi generoso amo, que poseía, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó de dirigir su venta, contándolos yo uno por uno en los cachos. Trabajé al pie de los datileros cerca de diez años. Contento con las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrón acaba de concederme algunos meses de descanso, y por eso voy ahora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de esa bella ciudad. Y para no perder el tiempo, me ejercito durante el viaje, contando los árboles que dan sombra a la región, las flores que la perfuman y los pájaros que vuelan en el cielo, entre las nubes.


Y señalando una vieja y grande higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió:


- Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene, término medio, trescientas cuarenta y siete hojas, se deduce fácilmente que aquel árbol tendrá un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas. ¿Qué le parece, amigo?


- ¡Que maravilla! –exclamé atónito-. ¡Es increíble que un hombre pueda contar todos los gajos de un árbol, y las flores de un jardín! Tal habilidad puede proporcionar a cualquier persona un medio seguro de ganar envidiables riquezas.

- ¿Cómo es eso? –preguntó Beremís-, ¡Jamás pasó por mi imaginación que pudiera ganarse dinero contando los millones de hojas de los árboles o los enjambres de abejas! ¿Quién podría interesarse por el total de ramas de un árbol o por el número de pájaros que cruzan el cielo durante el día?


- Vuestra admirable habilidad – expliqué- podría ser empleada en veinte mil casos diferentes. En una gran capital como Constantinopla, o aún en Bagdad, seríais útil auxiliar para el Gobierno. Podríais calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil os sería evaluar las riquezas del país, el valor de las colectas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Yo os aseguro –por las relaciones que mantengo, pues soy bagdalí , que no os sería difícil obtener una posición destacada junto al glorioso califa Al-Motacen (nuestro amo y señor). Podríais, tal vez, ejercer el cargo de visir – tesorero o desempeñar las funciones de Finanzas musulmanas .


- Si es así, joven – respondió el calculista- no dudo más, y os acompaño hacia Bagdad.


Y sin más preámbulo, se acomodó como pudo encima de mi camello (único que teníamos), rumbo a la ciudad gloriosa.






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NUESTRA PROPUESTA DE CAPACITACIÓN

Nuestra propuesta de capacitacion en el área de matemática    pretende  aportar   un marco teórico - conceptual para repensar  las prácticas docentes en el área,   como así también  resignificar los procesos de  enseñanza - aprendizaje de contenidos de matemática,  mediante un enfoque dialéctico teoría - práctica.

BIENVENIDOS AL BLOG DE MATEMATICA

COLEGAS DOCENTES: Les damos la bienvenida  al blog del Curso de Capacitación " Matemática en el aula: fudamentos y propuestas didácticas para su abordaje". Esta propuesta de capacitacion está a cargo de los profesores  STELA GONZÁLEZ - ANA OSICKA y NÉSTOR ROMERO. La institución oferente de este Curso es el Instituto de Nivel Superior "Juan José Gualberto Pisarello" , de la ciudad de Quitilipi , Chaco.